Теорема Гротендіка про розщеплення
Теорема Гротендіка про розщеплення дає класифікацію голоморфних векторних розшарувань над комплексною проективною прямою. А саме, вона стверджує, що кожне голоморфне векторне розшарування над є прямою сумою голоморфних 1-вимірних розшарувань.
Теорему названо на честь Александра Гротендіка, який довів її в 1957 році.[1] Вона еквівалентна теоремі, доведеній 1913 року Джорджем Біркгофом,[2] але була відома вже 1908 року Йосипу Племелю[3] і 1905 року Давиду Гільберту.[4]
- Формулювання Гротендіка
Кожне голоморфне векторне розшарування над голоморфно ізоморфне прямій сумі лінійних розшарувань:
де позначає розшарування з класом Черна . Більш того, це подання єдине з точністю до перестановки доданків.
- Формулювання Біркгофа
Оборотна матриця , кожна компонента якої є многочленом Лорана від , подається у вигляді добутку
- ,
де матриця — многочлен від , — діагональна матриця, і матриця — многочлен від .
- Теорема Гротендіка про розщеплення використовується в доведенні Мікалефа і Мура теореми про сферу з додатною комплексифікованою кривиною в ізотропних напрямках.
- Той же результат має місце для алгебричних векторних розшарувань над для будь-якого поля .[5]
- ↑ Grothendieck, Alexander (1957), Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann, American Journal of Mathematics, 79: 121•138, doi:10.2307/2372388.
- ↑ Birkhoff, George David (1909), Singular points of ordinary linear differential equations, Transactions of the American Mathematical Society, 10 (4): 436—470, doi:10.2307/1988594, ISSN 0002-9947
- ↑ Plemelj, J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), no. 1, 211—245.
- ↑ Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen. vierte mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1906:157-228.
- ↑ Hazewinkel, Michiel; Martin, Clyde F. (1982), A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line, Journal of Pure and Applied Algebra, 25 (2): 207—211, doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8
- Okonek, C.; Schneider, M.; Spindler, H. (1980), Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Mathematics, Birkhäuser.